Lo que se necesita es un servicio para administrar y configurar los DNS, en este caso se utilizará cdmon.com por ser gratuito y sencillo de usar. Así que deberás crearte una cuenta.
1- En el panel de CDMON accede a DNS gratuito y luego selecciona DNS estático:


2- Añade el dominio que vas a utilizar para la dirección de correo, simplemente debes escribirlo:

3- En la siguiente página selecciona alguna de las opciones disponibles como En construcción para mostrar un mensaje personalizado cuando alguna persona escriba directamente la URL del correo en su navegador o también puedes redireccionar el dominio hacia otra página (esto no afectará el funcionamiento del correo):

4- Luego accede a la opción Configurar registro MX y tal como se se muestra en la siguiente imagen, copia y pega el Registro MX proporcionado por Outlook para tu correo:


5- Desde el botón del menú Configurar registro TXT configura el registro TXT con el protocolo SPF, de esta forma evitarás que los correos que envés se marquen como correos no deseados:

Simplemente deberás agregar v=spf1 include:hotmail.com ~all de la siguiente forma:

6- Finalmente en el panel donde tienes registrado el dominio deberás delegar o agregar los DNS de CDMON, de esta forma el dominio apuntará hacia sus servidores donde se encuentra configurado el registro mx de Outlook.
Los DNS de CDMON y sus respectivas IPs son:
ns1.cdmon.net 46.16.61.24
ns2.cdmon.net 46.16.60.60
ns3.cdmon.net 95.211.8.207
En el panel del dominio borra los DNS que estén presentes (si hay algunos) y agrega los de cdmon.
La actualización de los DNS puede tardar algunas horas, puedes verificar su propagación con esta herramienta: http://host-tracker.com
Una vez que los DNS se propagan por toda la red, al presionar el botón Actualizar en el panel de Outlook tu correo con dominio propio ya estará funcionando. Si al presionar el botón actualizar no sucede nada, significa que aún no se propagaron los DNS... simplemente espera algunas horas y vuelve a intentarlo.

Si tienes dudas con alguno de estos pasos, deja tu comentario.
En el foro también podrás encontrar otro tutorial para configurar el correo de Outlook bajo cPanel.